Godło wystawy

tmpb385-1Zaprojektowana była wystawa. Dyrekcja rozpisała konkurs na godło wystawy.

Wśród, nadesłanych projektów znalazły się dwa pomysły o dość podobnych tematach.
Jeden z tych projektów proponował, by godłem wystawy była piramida ze spiętrzonych sześcianów: na wielkim sześcianie o krawędzi a = 25 m ma być umieszczony sześcian o krawędzi o 20% mniejszej, na nim zaś nowy sześcian o krawędzi o 20% mniejszej od krawędzi poprzedniego sześcianu i tak dalej.
Drugi projekt kładł w podstawie piramidy sześcian o krawędzi a = 25 m, na nim miał być sześcian o krawędzi ½ a, potem z kolei sześciany o krawędziach 1/3 a,  1/4 a i tak dalej.

Która z tych piramid utworzonych z sześcianów będzie wyższa?

Okazuje się, że pierwsza wieża będzie miała 125 metrów wysokości. W samej rzeczy, trzeba obliczyć sumę szeregu geometrycznego

25 + 25 • 4/5 + 25 • (4/5)² + 25 • (4/5)³+ . . .

Jak wiadomo, suma taka wyraża się wzorem

tmpe870-2gdzie a oznacza pierwszy wyraz szeregu, a  q — jego iloraz. W danym przypadku mamy a — 25, q = 4/5, a więc S = 125.

Dla obliczenia wysokości drugiej wieży trzeba znaleźć sumę takiego szeregu:

tmpb385-3Szereg taki nazywa się szeregiem harmonicznym. Otóż jest to szereg rozbieżny, gdyż suma jego wyrazów wziętych w dostatecznej ilości, może przekroczyć dowolnie wielką, z góry zadaną liczbę.

Łatwo to stwierdzić na podstawie nieco oryginalnego rozumowania. Wyrazy szeregu tego można połączyć w takie grupy:

tmp6952-1stwierdzamy, że każdy nawias w pierwszym szeregu zawiera wyraz większy od odpowiedniego nawiasu w drugim szeregu. Ale drugi szereg jest rozbieżny, a więc i pierwszy szereg jest rozbieżny.

Widzimy więc, że wieżę według tego zaiste imponującego projektu trzeba by ciągnąć w górę w nieskończoność, ale po drodze doszlibyśmy do takiej wysokości, przy której siła odśrodkowa wskutek obrotu Ziemi dookoła osi byłaby większa niż siła przyciągania Ziemi.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *